Geometri Analitik: Kedudukan dan Jarak Antar Dua Titik

Kedudukan dan Jarak Antar Dua Titik

Konsep titik diperkenalkan dalam geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki dimensi panjang. Euclid mendefinisikan titik dalam buku I - Element yaitu “a point is that which has no part”. Geometri Euclid hanya membahas sifat titik yang diam/tetap, sedangkan geometri analitik juga menelaah sifat-sifat titik yang bergerak seperti yang terjadi di alam. Misalnya sebuah bola yang menggelinding pada permukaan bidang miring dapat dinyatakan sebagai sebuah titik yang bergerak sehingga titik tersebut mengalami perpindahan tempat. Posisi bola saat di bagian atas tidak sama dengan posisi bola saat berada di pertengahan bidang. Proses menelaah sifat titik-titik di berbagai posisi tersebut maka dibutuhkan bantuan aljabar untuk menyatakan posisi titik

dalam suatu simbol tertentu.

Dua buah titik berbeda akan berada pada posisi yang berbeda. Jarak kedua titik tersebut dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

Buatlah dua titik berbeda yaitu A dan B lalu hubungkan dengan sebuah ruas garis.
Buat sebuah garis melalui A dan sebuah garis lain yang melalui B sehingga kedua garis berpotongan tegak lurus.
Tentukan titik potong kedua garis yaitu C sehingga diperoleh segitiga siku-siku ACB atau BCA lalu ukur panjang ruas garis CA dan CB
Tentukan panjang ruas garis AB dengan menggunakan Teorema Phytagoras :

Titik-titik pada sebuah bidang yang membentuk himpunan titik dan memenuhi suatu kriteria tertentu dinamakan kedudukan titik (locus of points). Kedudukan titik dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi. Misalnya titik-titik pada lingkaran berjari-jari 1 cm dapat dinyatakan sebagai x² + y² = 1. Secara geometris, hanya titik-titik berjarak 1 cm dari titik pusat lingkaran tersebut yang memenuhi kedudukan titik yang dinyatakan oleh persamaan x² + y² = 1. Teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems) sebagai berikut.

*Teorema 1.1* Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah titik P adalah sebuah lingkaran berpusat di titik P dengan ukuran panjang jari-jari d
*Teorema 1.2* Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah garis l adalah sepasang garis-garis sejajar yang masing-masing berjarak d dari garis l
*Teorema 1.3* Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus terhadap ruas garis PQ dan membagi PQ menjadi dua bagian sama besar
*Teorema 1.4* Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang sejajar yaitu l₁ dan l₂ merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan kedua garis tersebut.
*Teorema 1.5* Kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu l₁dan l₂, adalaha sepasang ruas garis (disebut bisectors) yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang yang dibentuk garis l₁dan l₂
*Teorema 1.6* Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah sinar yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle)
*Teorema 1.7* Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya
*Teorema 1.8* Kedudukan titik-titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran konsentris, di mana masing-masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.
*Teorema 1.9* Kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari-jari kurang dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran pertama dan saling konsentris.