Ujian Akhir Semester Praktikum Geometri Analitik (Soal Kontekstual, Bola, dan Elipsoida)

Laporan Ujian Akhir Semester

Praktikum Geometri Analitik

Dosen Pengampu  : Nur Aliyyah Irsal, M.Pd

Nama : Lilia Gina Febrila

NPM : A1C017060

Semester : 4b

Program Studi Pendidikan Matematika

Jurusan Ilmu Pendidikan MIPA

Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan

Universitas Bengkulu

2019

Laporan Ujian Akhir Semester : https://drive.google.com/open?id=1U-W9YYwmZqUdjKWB3XIXtU4OzLw-wx-i

Geogebra Soal Kontekstual : https://drive.google.com/open?id=1lv5TGQerXv82F7TakydimJzFDQ0P7S_1

Geogebra Bola : https://drive.google.com/open?id=131UHOSbhbY8mnHq62JlwsEViCF7ed8wO

Geogebra Elipsoida : https://drive.google.com/open?id=1uCwF3_jvEFosL8V2LnKmyiX0d9NZakYx

Laporan Praktikum 7 (Ellipsoida, Paraboloida, dan Hiperboloida)

Laporan Praktikum Geometri Analitik

Ellipsoida, Paraboloida, dan Hiperboloida

Dosen Pengampu : Nur Aliyyah Irsal, M.Pd

Anggota Kelompok :

Adinda Rizki Safira (A1C017004)

Dira Oktia Mita (A1C017018)

Bagus Dwi Pangestu (A1C017038)

Lilia Gina Febrila (A1C017060)

Semester : 4b

Program Studi Pendidikan Matematika

Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan

Universitas Bengkulu

2019

Makalah : https://drive.google.com/open?id=1YDBzP-xf45g7qEdx9N3wYATC2g1gnTxy

Geogebra Ellipsoida : https://drive.google.com/open?id=1tdPcysD3Lr8lK9VLeHYw2k3mMhgzDMnv

Geogebra Paraboloida : https://drive.google.com/open?id=1oXHrcuzvX-ggqNCz3Ls12J2yVTotxA9y

Geogebra Hiperboloida : https://drive.google.com/open?id=1GldzqhX3DY13rtx_112lZDtd0XSTPOzZ

Ellips

Ellips

(1) Elips merupakan tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap.

• Jumlah jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
• Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F₁ dan F₂ adalah 2c

(2) Elips merupakan tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitet), dimana 0 < e < 1

• Titik itu adalah fokus (F), dan garis itu adalah garis arah.
• Ruas garis yang melalui kedua fokus dan memotong elips disebut sumbu mayor
• Pusat elips adalah titik tengah F₁ dan F₂
• Ruas garis yang melalui pusat, tegak lurus sumbu mayor dan memotong elips disebut sumbu minor

Luas Elips = π.a.b  (a = ½ panjang horisontal; b = ½ panjang vertikal)

1. Ellips Horizontal

2. Ellips Vertikal 

Contoh Soal :

1.       Carilah persamaan ellips yang mempunyai titik focus (0,2) dan (0,6) serta vertex (0,0) dan (0,8)

2.    Garis x-y-5=0 menyinggung ellips yang titik-titik apinya F₁(-3,0) dan F₂(3,0). Persamaan ellips yang memenuhi syarat tersebut adalah …..

Hiperbola dan Hiperboloida

Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya teradap dua titik tertentu selalu tetap. Dua titik tertentu itu disebut titik fokus hiperbola. Komponen penyusun parabola adalah kurva, asimtot, garis arah (dirtektris), titik fokus, titik puncak, dan lain sebagainya. Semua komponen penyusun hiperbola saling berkaitan sehingga dapat dirumuskan sebuah persamaan umum. Nantinya, akan diberikan rumus persamaan umum hiperbola. Sebelumnya, perhatikan unsur-unsur penyusun hiperbola berikut.

Berikut ini adalah gambar hiperbola horizontal dan hiperbola vertikal beserta keterangan unsur-unsur penyusunnya.

1. Hiperbola Horizontal

2. Hiperbola Vertikal

Rumus Umum pada Hiperbola yang berpusat di titik (0,0) dan di titik M(p,q)

Hiperboloida

1. Hiperboloida Berdaun Dua

Suatu hiperbola yang diputar mengelilingi sumbu-X akan menghasilkan suatu hiperboloida berdaun dua

Persamaan umum : 

2. Hiperboloida Berdaun Satu

Suatu hiperbola yang diputar mengelilingi sumbu-Y akan menghasilkan suatu hiperboloida berdaun satu

Persamaan umum : 

Contoh Soal :

1. Suatu hiperboloida putaran berdaun satu dengan persamaan 

    dipotong oleh dengan persamaan y = 3, maka persamaan perpotongannya adalah...

Laporan Praktikum 5 (Persamaan Bola)

Laporan Praktikum Geometri Analitik

Persamaan Bola

Dosen Pengampu : Nur Aliyyah Irsal, M.Pd

Anggota Kelompok :

Adinda Rizki Safira (A1C017004)

Dira Oktia Mita (A1C017018)

Bagus Dwi Pangestu (A1C017038)

Lilia Gina Febrila (A1C017060)

Semester : 4b

Program Studi Pendidikan Matematika

Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan

Universitas Bengkulu

2019

Contoh Soal : https://drive.google.com/open?id=111-VWjUDVVrZfRcN-Ody1j0kES9xaNx5

Latihan Soal : https://drive.google.com/open?id=1RvmVzDnDsqDVurgykF1ddx9YXR_UwDE5

Laporan manual : https://drive.google.com/open?id=1YN_xTNq4fwT9QZM3pzxHT1KyCeedI0m6

Laporan Praktikum 4 Investigasi Sifat-sifat Lingkaran

Laporan Praktikum Geometri Analitik

Investigasi Sifat-sifat Lingkaran

Dosen Pengampu : Nur Aliyyah Irsal, M.Pd

Anggota Kelompok :

Adinda Rizki Safira (A1C017004)

Dira Oktia Mita (A1C017018)

Bagus Dwi Pangestu (A1C017038)

Lilia Gina Febrila (A1C017060)

Semester : 4b

Program Studi Pendidikan Matematika

Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan

Universitas Bengkulu

2018

File Ms. Word:https://drive.google.com/open?id=1603nUM5IfiOO_bKoZTyZ699bFHSSby4s
File geogebra : https://drive.google.com/open?id=1r6PbY3O83ugd8ZchGM4kApxiQP-gquYd

Persamaan bola dan contoh soal beserta pembahasannya

Persamaan Bola

A.    Definisi Bola

Suatu bola, tepatnya (Permukaan Bola) merupakan tempat kedudukan titik ujung vektor-vektor di dalam ruang yang titik awalnya adalah titik tertentu, dan panjangnya adalah konstant.

Titik awal tertentu itu disebut TITIK PUSAT Bola, dan panjang vektor yang konstant itu disebut JARI-JARI Bola.

B.    Persamaan Bola

Persamaan Bola dengan pusat O(0 , 0, 0) dan jari-jari r adalah;

      

       x² + y² + z² = r² ....(I)

Persamaan Bola untuk Pusat Bola adalah M(a,b,c) dan jari-jari = R (lihat gambar berikut)

Ambil titik sebarang P(x˳, y˳, z˳) pada bola, maka berlaku:

MP = OP – OM

= (x˳, y˳, z˳) – (a, b, c)

= (x˳ – a. y˳ – b, z˳ – c)

Sehingga panjang vektor MP adalah │MP│, dimana:

│MP│ = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}

Karena │MP│= R (jari-jari bola), maka:

R   = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}

R² = (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²

Bila titik  P(x˳, y˳, z˳) dijalankan, maka diperoleh TK titik-titik yang dicari, yaitu persamaan Bola. Jadi persamaan Bola  yang berpusat dititik M(a,b,c) dengan jari-jari = R adalah......

                          (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² ….(II)

Bila persamaan (II) dijabarkan, maka akan diperoleh:

  (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²

  ( X² - 2ax + a²) + ( y² – 2by + b²) + (z² – 2cz + c²) = R²

    X² - 2ax + a² +  y² – 2by + b² + z² – 2cz + c²  = R²

   x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0

       x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0 … (III)

Dari persamaan (III) diatas, apabila:

•  -2a = A
•   -2b = B
•  -2c = C dan 
•   a² + b² + c² – R² = D

Maka dari persamaan (III) dapat ditulis sebagai berikut:

x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 ….(IV)

Persamaan (IV) ini  disebut  BENTUK UMUM persamaan Bola , dan karena:

•  -2a = A, maka a = -½ A
• -2b = B, maka b = -½B
•   -2c = C, maka c = -½C

Dengan demikian Pusat Bola pada persamaan (IV) diatas adalah...

M(-½A, -½B, -½C) ….(V)

Jadi, bentuk (V) diatas  adalah Rumus koordinat Titik Pusat Bola

Begitu pula karena  a² + b² + c² – R² = D, maka diperoleh :

R² =  a² + b² + c² – D

R² = (-½A)² + (-½B)² + (-½C)² – D

R² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D

         R² = √(¼A² + ¼B² + ¼C² – D) ….(VI)

Bentuk atau persamaan (VI) diatas adalah persamaan untuk JARI-JARI Bola

Untuk bola dengan persamaan  x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 (IV) diatas  terdapat tiga kemungkinan, yaitu :

1. Bila R² > 0, maka B adalah bola sejati

2. Bila R² = 0, maka B adalah bola titik (jari-jari = 0)

3. Bila R² < 0, maka B merupakan bola khayal  

C. Contoh soal dan pembahasannya

11.      Persamaan bola yang berpusat di (0,0,3) dan berjari-jari 5 adalah…..

Pembahasan :

(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²

(x-0)² + (y-0)² + (z-3)² = 5²

x² + y² + z² - 6z +9 = 25

x² + y² + z² - 6z = 25 - 9

x² + y² + z² - 6z = 16

22.      Titik pusat dan jari-jari dari bola dengan persamaan 3x² + 3y² + 3z²- 6x + 12y – 18z -6 = 0

Pembahasan :

3x² + 3y² + 3z²- 6x + 12y – 18z - 6 = 0

x² + y² + z² - 2x + 4y – 6z - 2 = 0

13.      Persamaan bidang singgung pada bola x² + y² + z² - 2x + 4y – 8z + 5 = 0 dititik (1,-2,0) adalah…..

Pembahasan :

14.      Diketahui bola x² + y² + z² - 2x + 4y – 4z - 7 = 0 dan titik R(2,-2,2), T(5,-3,2) adalah…..

        Pembahasan :

Sistem Koordinat Cartesius

Sistem Koordinat Cartesius

1.      Sistem Koordinat Cartesius Dua Dimensi

Representasi titik pada gambar 10 menjadi dasar pembuatan sistem koordinat Cartesius seperti dijelaskan pada subbab 1.1. Garis X¢X dan Y¢Y masing-masing disebut sumbu x dan sumbu y dengan titik acuan (pangkal) di O. Panjang OA = a menyatakan absis (absisca) titik P. Panjang AP = OB = b menyatakan ordinat (ordinate) titik P. Koordinat titik P dinyatakan oleh pasangan berurutan (a, b). Titik pangkal O biasanya dinyatakan oleh koordinat (0, 0).

Jika sudut XOY merupakan sudut siku-siku (right angle) maka sistem koordinat tersebut dinamakan sistem koordinat persegi panjang (rectangular coordinates) atau koordinat siku-siku atau koordinat Cartesius. Sistem koordinat persegi panjang terbagi menjadi empat daerah yang disebut kuadran yaitu kuadran I dibatasi oleh sudut XOY, kuadran II dibatasi oleh sudut YOX¢, kuadran III dibatasi oleh sudut X¢OY¢, dan kuadran IV dibatasi oleh  sudut Y¢OX. Sinar OX dan OY masing-masing terdiri atas bilangan-bilangan riil positif. Sinar OX¢ dan OY¢ terdiri atas bilangan-bilangan riil negatif. Sehingga himpunan titik-titik pada masing-masing kuadran dapat dinyatakan seperti dalam tabel berikut.

Koordinat (x, y)	Kuadran I	Kuadran II	Kuadran III	Kuadran IV
Absis	x > 0	x < 0	x < 0	x > 0
Ordinat	y > 0	y > 0	y < 0	y < 0

Jika diketahui koordinat titik-titik maka jarak antara dua titik dapat ditentukan sebagai berikut. Misalkan koordinat titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) maka dapat dibuat sebuah segitiga siku-siku ABC dengan titik C(x₂, y₁) seperti pada gambar di samping. Maka jarak titik A dan B yaitu

Contoh 1

Ditentukan koordinat titik A(1, 2), B(-3, 4), C(-3, -1), D(1, -1) maka keempat titik tersebut dapat digambarkan pada Sistem Koordinat Cartesius sebagai berikut.

Gambar 12. Contoh penyajian titik-titik pada sistem koordinat Cartesius

Pertanyaan 2 - 1 :             Jika titik-titik tersebut dihubungkan dengan ruas garis maka diperoleh sebuah segiempat CDAB, hitunglah luas dan keliling segiempat tersebut.

Penyelesaian     

Diketahui      :      Segiempat CDAB dengan koordinat A(1, 2), B(-3, 4), C(-3, -1), D(1, -1)     

Ditanyakan   :      Luas CDAB = …………satuan luas

                             Keliling CDAB = …………satuan panjang

Identifikasi masalah        :               Untuk memudahkan penyelesaian, perlu didentifikasi bentuk CDAB yaitu dengan cara menghubungkan semua titik sudut sehingga diperoleh bentuk di samping. Identifikasi bentuk menunjukkan bahwa CDAB merupakan sebuah trapesium siku-siku. Masalah luas dan keliling dapat diselesaikan apabila panjang sisi CDAB diketahui. Sisi CDAB yaitu ruas garis CD, DA, AB, dan BC. Panjang tiap ruas garis dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik. Keliling CDAB adalah jumlah panjang semua sisi CDAB sehingga dirumuskan :

Luas ditentukan dengan menggunakan rumus luas trapesium yaitu setengah dari tinggi trapesium dikali jumlah panjang sisi-sisi sejajar sehingga dirumuskan :

Langkah Penyelesaian         :

Langkah 1) Menentukan panjang tiap sisi CDAB

Langkah 2) Menentukan keliling CDAB

Langkah 3) Menentukan luas CDAB

Jadi luas segiempat CDAB yaitu 16 satuan luas dan keliling CDAB sekitar 17,47 satuan

panjang

    2. Sistem Koordinat Cartesius Dua Dimensi

Patokan mula yang diambil dalam koordinat cartesius tiga dimensi adalah tiga garis lurus yang saling tegak lurus yang dinamakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Sumbu z diambil vertikal dengan arah ke atas dinyatakan sebagai arah positif dan ke bawah sebagai arah negatif.  Sumbu y diambil horizontal dengan arah ke kanan dinyatakan sebagai arah positif dan ke kiri sebagai arah negatif. Sumbu z dan sumbu y terletak pada kertas kita , sdangkan sumbu x tegak lurus pada kertas kita dan melalui titik potong sumbu y dan z.

Ketiga sumbu x, y, dan z membentuk tiga bidang, yaitu bidang xy, yz, dan xz. Ketiga bidang ini membagi ruang menjadi delapa oktan, yaitu oktan I, II, III, IV, V, VI, VII, dan VIII. Oktan- oktan I, II, III, dan IV berada diatas bidang xy, sedangkan oktan V, VI, VII, dan VIII berada dibawah sumbu xy.

    

Oktan I : (x+, y+, z+)

Oktan II : (x+, y-, z+)

Oktan III : (x-, y-, z+)

Oktan IV : (x-, y+, y+)

Oktan V : (x+, y+, z-)

Oktan VI : (x+, y-, z-)

Oktan VII : (x-, y+, z-)

Letak suatu titik ditentukan oleh letak titik itu ke bidang-bidang koordinat yz, xz, dan xy serta arah positif dan negatif. Oleh karena itu suatu titik tertentu oleh pasangan (tripel) tiga bilangan, misalnya titik P(x, y, z). Pasangan pertama, yaitu x disebut koordinat x atau absis. Pasangan kedua, yaitu y disebut koordinat y ordinat dan pasangan ketiga disebut koordinat z atau aplikat. 

Contoh :

1. Gambarkan posisi titik A(2,4,1) pada sistem koordinat cartesius tiga dimensi

    Langkah 1 : dari titik (0,0,0) geser titik A sebanyak sebanyak 2 satuan kearah sumbu x

                        positif

    Langkah 2 : Kemudian geser titik A sebanyak 4 satuan kearah sumbu y positif

    Langkah 3 : Geser titik A  sebanyak 1 satuan kearah sumbu z positif

2. Gambarkan posisi titik-titik berikut dalam sebuah sistem koordinat cartesius tiga dimensi

    A(1,0,-1), B(2,1,-2), C(-1,1,2), D(3,2,0), E(-4,2,3), F(0,-12), G(0,0,5), H(0,1,0), I(-6,0,0),

    J(-5,-3,-1), (-2,-1,0)

3. Gambarkan sebuah balok yang salah satu titik sudutnya adalah titik A(-1,2,3); beberapa

    bidang sisinya sejajar dengan bidang koordinat; dan titik potong diagonal ruang balok

    tersebut berhimpit dengan titik asal.