Persamaan Bola
Suatu bola, tepatnya (Permukaan Bola) merupakan tempat kedudukan titik ujung vektor-vektor di dalam ruang yang titik awalnya adalah titik tertentu, dan panjangnya adalah konstant.
Titik awal tertentu itu disebut TITIK PUSAT Bola, dan panjang vektor yang konstant itu disebut JARI-JARI Bola.
B. Persamaan Bola
Persamaan Bola dengan pusat O(0 , 0, 0) dan jari-jari r adalah;
x² + y² + z² = r2 ....(I)
Persamaan Bola untuk Pusat Bola adalah M(a,b,c) dan jari-jari = R (lihat gambar berikut)
Ambil titik sebarang P(x˳, y˳, z˳) pada bola, maka berlaku:
= (x˳, y˳, z˳) – (a, b, c)
= (x˳ – a. y˳ – b, z˳ – c)
Sehingga panjang vektor MP adalah │MP│, dimana:
│MP│ = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}
Karena │MP│= R (jari-jari bola), maka:
R = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}
R² = (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²
Bila titik P(x˳, y˳, z˳) dijalankan, maka diperoleh TK titik-titik yang dicari, yaitu persamaan Bola. Jadi persamaan Bola yang berpusat dititik M(a,b,c) dengan jari-jari = R adalah......
(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² ….(II)
Bila persamaan (II) dijabarkan, maka akan diperoleh:
(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²
( X2 - 2ax + a²) + ( y² – 2by + b²) + (z² – 2cz + c²) = R²
X2 - 2ax + a² + y² – 2by + b² + z² – 2cz + c² = R²
x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0
x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0 … (III)
Dari persamaan (III) diatas, apabila:
- -2a = A
- -2b = B
- -2c = C dan
- a² + b² + c² – R² = D
Maka dari persamaan (III) dapat ditulis sebagai berikut:
x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0 ….(IV)
Persamaan (IV) ini disebut BENTUK UMUM persamaan Bola , dan karena:
- -2a = A, maka a = -½ A
- -2b = B, maka b = -½B
- -2c = C, maka c = -½C
Dengan demikian Pusat Bola pada persamaan (IV) diatas adalah...
Jadi, bentuk (V) diatas adalah Rumus koordinat Titik Pusat Bola
Begitu pula karena a² + b² + c² – R² = D, maka diperoleh :
R² = (-½A)² + (-½B)² + (-½C)² – D
R² = √(¼A² + ¼B² + ¼C² – D) ….(VI)
Bentuk atau persamaan (VI) diatas adalah persamaan untuk JARI-JARI Bola
Untuk bola dengan persamaan x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0 (IV) diatas terdapat tiga kemungkinan, yaitu :
1. Bila R² > 0, maka B adalah bola sejati
2. Bila R² = 0, maka B adalah bola titik (jari-jari = 0)
3. Bila R² < 0, maka B merupakan bola khayal
C. Contoh soal dan pembahasannya
11. Persamaan
bola yang berpusat di (0,0,3) dan berjari-jari 5 adalah…..
Pembahasan :
(x-a)2
+ (y-b)2 + (z-c)2 = r2
(x-0)2
+ (y-0)2 + (z-3)2 = 52
x2
+ y2 + z2 - 6z +9 = 25
x2
+ y2 + z2 - 6z = 25 - 9
x2
+ y2 + z2 - 6z = 16
22. Titik
pusat dan jari-jari dari bola dengan persamaan 3x2 + 3y2
+ 3z2- 6x + 12y – 18z -6 = 0
Pembahasan :
3x2
+ 3y2 + 3z2- 6x + 12y – 18z - 6 = 0
x2 + y2 + z2 - 2x + 4y – 6z - 2 = 0
13. Persamaan
bidang singgung pada bola x2 + y2 + z2
- 2x + 4y – 8z + 5 = 0 dititik (1,-2,0) adalah…..
Pembahasan :
14. Diketahui
bola x2
+ y2 + z2 - 2x + 4y – 4z - 7 = 0 dan titik R(2,-2,2),
T(5,-3,2) adalah…..
Pembahasan :
